Cubi, ipercubi, Vanesse e quant'altro

Che cosa è un ipercubo detto anche tesseratto? un cubo in 4 dimensioni.

Per i matematici è facile parlare di spazi a un numero qualsiasi di dimensioni ma noi percepiamo solo 3 dimensioni spaziali, come 'vedere' quindi qualcosa in 4 dimensioni?

In realtà si può fare... ad esempio per generalizzazione: daremo un procedimento induttivo per passare da una dimensione a quella successiva. Ma la prima cosa da fare è eliminare le associazioni mentali legate ai nomi: se diciamo quadrato abbiamo una nitida immagine di cosa sia, ci è difficile pensarlo come un cubo a 2 dimensioni. Quindi introduciamo il termine di fantasia Vanessa e parleremo di Vanessa_n per indicare il 'cubo' a n-dimensioni.

Iniziamo da Vanessa_0 cioè in dimensione 0: in 0-dimensioni esiste solo il punto e quindi Vanessa_0 non può essere che un punto (esageriamo, lo disegneremo big).

Dimensione 0: Vanessa_0
vanesse__1.png

Dimensione 1: Vanessa_1




Procedura: scegliere una direzione (prenderemo l'orizzontale), 'stirare' Vanessa_0 in tale direzione,


vanesse__2.png




quindi chiudere con Vanessa_0


vanesse__3.png

e voilà ecco Vanessa_1 , cioè un segmento (notare che contiene 2 Vanessa_0)




Dimensione 2: Vanessa_2

Procedura: scegliere una direzione ortogonale a quella precedente ( la verticale), 'stirare' i 2 Vanessa_0 di Vanessa_1 in tale direzione





vanesse__4.png

quindi 'chiudere' con Vanessa_1





vanesse__5.png

ed ecco Vanessa_2, cioè un quadrato (notare che contiene 4 Vanessa_0 e 4 Vanessa_1)




Dimensione 3: Vanessa_3

Procedura: scegliere una direzione ortogonale alle 2 già usate, 'stirare' i 4 Vanessa_0 di Vanessa_2 in tale direzione... solo che sul foglio o monitor o lavagna - che sono bidimensionali- tale direzione non esiste! Vabbè, facciamo finta che esista





vanesse__6.png




e quindi 'chiudiamo' con Vanessa_2


vanesse__7.png

ed ecco la rappresentazione bidimensionale di Vanessa_3 , cioè un cubo (notare che contiene 8 Vanessa_0 ,12 Vanessa_1, 6 Vanessa_2)




Dimensione 4: Vanessa_4

Procedura - la solita!: scegliere una direzione ortogonale alle 3 già usate, 'stirare' gli 8 Vanessa_0 di Vanessa_3 in tale direzione... solo che sul foglio o monitor o lavagna - che sono bidimensionali- già non esisteva la terza direzione ortogonale (abbiamo dovuto fingere...) figuriamoci la quarta... Fingiamo ancora:





vanesse__8.png

ora dovremmo 'chiudere' con Vanessa_3 , ma lascio a voi il piacere.

Per chi volesse vedere una versione a colori :

http://bruma8848.altervista.org/evita/s4.htm

Lascio anche a voi il compito di contare quante Vanessa_0, Vanessa_1, Vanessa_2, Vanessa_3 vi sono in una Vanessa_4 (potreste essere curiosi di sapere quante cubiste possono danzare in una iperdiscoteca... ma fatelo subito perchè la risposta è sotto)

Sia $n$ la dimensione dello spazio in cui consideriamo il cubo o Vanessa, sia $m\leq n$ la dimensione della Vanessa considerata, sia $V_{n,m}$ il numero delle Vanesse $m-$ dimensionali presenti nella Vanessa $n-$ dimensionale ( es: in un quadrato, cioè Vanessa_2, ci sono 4 spigoli-lati- cioè 4 Vanessa_1 quindi $V_{2,1}=4$; o ancora: in un cubo, cioè Vanessa_3, ci sono 6 facce, cioè 6 Vanessa_2 , quindi $V_{3,2}=6$). Riassumiamo in tabella le cose note (o comunque facilmente appurabili) cioè i valori di $V_{n,m}$ fino a $n=4$





MATH




Spero sia facile 'leggere' la tabella: ad esempio il valore di $V_{4,3}$, riga 4-colonna 3, è 8: quindi una Vanessa_4, cioè un ipercubo, contiene 8 Vanesse_3, cioè 8 cubi.




Domande:




1) Sapreste continuare la tabella per n=5?




(il che vuol dire sapere quanti vertici, lati, facce, cubi ed ipercubi ci sono in un iper-ipercubo... per la vostra sanità mentale non vi consiglio di tentare di disegnare un Vanessa_5: piuttosto guardate attentamente la tabella e provate ad 'indovinare' la prossima riga)




Risposta




2) Sapreste trovare la formula che esprime $V_{n,m}$ per ogni $n\geq 0,m\leq n~$?




(esiste, esiste...)

 

Risposta